Melodie e scale nel piano cartesiano
Nel medioevo non si aveva una notazione adeguata, ma un promemoria della melodia con alcuni segni (neumi) posti sopra le parole; un decisivo passo avanti avvenne quando uno scrivano tracciò una linea rossa orizzontale per rappresentare l’altezza del FA e raggruppò i neumi attorno a quella linea;
col tempo si tracciò una seconda linea, solitamente gialla, per indicare il DO
fino ad arrivare al tetragramma (rigo musicale di 4 linee) ottenuto mediante l’aggiunta di due linee nere alle due colorate.
Nell’anno 1000 il monaco benedettino Guido d’Arezzo (922 ca.-1050) mise ordine nel modo di scrivere la musica con l’invenzione della rappresentazione spaziale bidimensionale delle altezze legate al tempo per mezzo delle superfici e dei punti.
Il sistema di scrittura musicale, composto di rigo musicale sul quale si collocano le note-durate, è quindi un sistema di notazione che non si discosta molto dalla rappresentazione cartesiana perché i parametri del suono come l’altezza e la durata possono essere messi in corrispondenza biunivoca.
Proviamo a fare un esempio rappresentando con gli assi cartesiani un breve brano tratto dalla tradizione americana Oh, my Darling Clementine assegnando all’asse delle ascisse il tempo e a quello delle ordinate la gamma delle note.
RETTE SONORE NEL PIANO CARTESIANO
In musica, l’elemento che visivamente può essere assimilato ad una retta matematica è la scala ascendente, la quale però rispetto alla retta ha il doppio vantaggio di poter essere eseguita e ascoltata.
Dalla funzione matematica y= f(x) possiamo ricavare la scala cromatica di DO. Indicando, infatti, sull’asse della x il tempo (una semiminima) e sull’asse delle y la successione dei semitoni partendo dal DO, costruiamo la seguente tabella:
Rappresentazione sul piano cartesiano della scala cromatica di DO a semiminime
Scala cromatica di DO a semiminime
Ora proviamo a trasformare in musica la relazione y=1/2x studiata in matematica. Si otterrà la stessa scala cromatica di DO, ma con valori raddoppiati.
Scala cromatica di DO a minime
Invece con l’impiego della formula y = x+1 si ottiene la scala cromatica di DO#; con la formula y = x+2 la scala cromatica di RE; e così via. Ovviamente in questo caso la retta non passerà più per l’origine.
Le funzioni lineari permettono anche la costruzione di un altro tipo di scala, quella per toni interi detta scala esatonale molto utilizzata dal compositore C. Debussy (1862-1918) . Eccone un esempio: partendo dalla nota di Si con la funzione y= 2x-1
Sulla semiretta positiva delle y , la scala cromatica di DO con i diesis; sull’ascissa la durata.
Traduzione del grafico in partitura: scala per toni interi
Voiles ad esempio, preludio di Claude Debussy è fondato sulla scala esatonale.
